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| 內容簡介： |
矩阵是重要的数学工具，也是当今人工智能、机器学习等领域重要的数据处理对象。本书作为矩阵理论的教材，将由浅入深地介绍矩阵的基本理论，包括矩阵的概念与运算、线性方程组、线性映射和线性变换、行列式、向量空间、特征值和特征向量、相似矩阵、二次型等，还有这些基本理论在机器学习上的简单应用。此外在本书各章还附上了对应的Python与MATLAB编程实践代码，以供需要工程实践的读者参考应用。
本书可作为高等院校工科专业的本科生教材，也可作为研究生入学考试的参考书，还可供对矩阵理论有需求的工程技术人员阅读参考。
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| 關於作者： |
苏临之，本科毕业于西安电子科技大学智能科学与技术专业，后在西安电子科技大学获得电路与系统专业博士学位，现任教于西北大学，是人工智能、机器学习领域的教学与技术应用专家。从事机器学习、深度学习的基础阿数学理论与工作，主持国家自然科学基金青年基金、陕西省自然科学基础研究计划等项目。目前专注于人工智能领域的基础数学教学与应用研究工作。
曹欣，本科毕业于西安电子科技大学探测与制导专业，后在西安电子科技大学获得电路与系统专业博士学位，现任教于西北大学。近年来一直致力于机器学习、医学图像处理、光学分子影像分析等研究工作。主持国家自然科学基金青年基金、中国博士后科学基金面上项目、陕西省自然科学基础研究计划青年项目、陕西省教育厅专项基金等项目。目前专注于机器学习领域和影像处理的工作研究。
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| 目錄：
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第1章从初等数学到高等数学
习题1
第2章矩阵是什么
2．1面包机里的学问
2．2矩阵的基本运算
2．3是矩阵，也是映射
2．3．1映射的概念和实例
2．3．2矩阵的映射属性
2．3．3线性映射
2．4编程实践： MATLAB和矩阵
习题2
第3章线性方程组
3．1从二元一次方程组说起
3．1．1齐次线性方程组
3．1．2非齐次线性方程组
3．1．3线性方程组的矩阵表示
3．2高斯消元法和矩阵初等行变换
3．2．1方程组的整体等价变换与高斯消元法
3．2．2矩阵的初等行变换和阶梯矩阵
3．3齐次方程组的求解
3．3．1通解的概念
3．3．2齐次方程组解的判断
3．3．3非零解和基础解系
3．3．4主变量和自由变量
3．3．5齐次方程组的求解步骤
3．4非齐次方程组的求解
3．4．1增广矩阵
3．4．2非齐次方程组解的判断
3．4．3具有无穷解方程组的通解
3．4．4非齐次方程组的求解步骤
3．5初识矩阵的秩
3．5．1秩的概念与求法
3．5．2矩阵秩的基本性质
3．5．3特殊矩阵的秩
3．6线性方程组理论的应用
3．6．1含有参数的线性方程组问题
3．6．2线性方程组和空间解析几何
3．6．3使用线性方程组配平化学方程式
3．6．4使用线性方程组求解牛吃草问题
3．7编程实践： MATLAB求解线性方程组
习题3
第4章矩阵乘法
4．1矩阵乘法： 线性映射的复合法则
4．1．1再从线性方程组说起
4．1．2矩阵乘法运算法则
4．1．3左乘和右乘
4．1．4矩阵乘法的条件
4．2矩阵乘法代数表示及性质
4．2．1矩阵乘法代数表示的推导
4．2．2矩阵乘法的基本性质
4．3特殊矩阵的乘法
4．3．1含有零矩阵的乘法
4．3．2含有对角阵和单位阵的乘法
4．3．3向量之间的乘法
4．3．4可交换矩阵的乘法
4．4矩阵乘法的拓展
4．4．1转置矩阵的乘法
4．4．2矩阵乘方
4．4．3矩阵多项式
4．5矩阵乘法的应用： Kappa系数计算式的推导
4．5．1Kappa系数
4．5．2Kappa系数的矩阵表达公式
4．5．3Kappa系数计算举例
4．6编程实践： MATLAB实现矩阵乘法
习题4
第5章逆矩阵
5．1矩阵乘法和初等变换的纽带： 初等矩阵
5．1．1初等变换
5．1．2初等矩阵
5．1．3矩阵的连续初等变换
5．2矩阵的“倒数”： 逆矩阵
5．2．1逆矩阵的概念
5．2．2逆矩阵的存在条件
5．2．3逆矩阵与逆映射
5．2．4逆矩阵的性质
5．3逆矩阵的求法
5．3．1初等行变换法求逆矩阵
5．3．2特殊矩阵的逆矩阵
5．4逆矩阵的拓展与延伸
5．4．1抽象矩阵的逆矩阵问题
5．4．2简单矩阵方程的求解
5．5编程实践： MATLAB求逆矩阵
习题5
第6章线性映射和线性变换
6．1再谈矩阵的映射属性
6．1．1复习与延伸： 映射及其分类
6．1．2矩阵的映射属性
6．2平面上的线性变换
6．2．1复习： 平面向量基本定理
6．2．2平面线性变换
6．2．3单位正方形的变化和变换比例系数
6．3编程实践： 平面图形的变换和讨论
习题6
第7章行列式
7．1行列式的基本运算和化简
7．1．12阶、3阶行列式的运算
7．1．2三角行列式和初等变换化简
7．1．3n阶行列式的计算
7．2行列式的降阶和展开
7．2．1行列式左上角元素降阶
7．2．2行列式一般元素的降阶
7．2．3行列式按行按列展开
7．2．4行列式展开公式的进一步讨论
7．3行列式的综合计算方法与技巧
7．4行列式在矩阵理论上的应用
7．4．1行列式和矩阵乘法
7．4．2行列式和矩阵的秩
7．4．3行列式和线性方程组
7．4．4行列式和逆矩阵
7．4．5零值行列式结论汇总
7．5编程实践： MATLAB计算行列式
习题7
第8章分块矩阵
8．1将大矩阵切成小矩阵
8．1．1矩阵分块初体验
8．1．2矩阵的几种分块方式
8．2分块矩阵的运算
8．2．1分块矩阵的转置
8．2．2分块矩阵的加减法和数乘
8．2．3分块矩阵的乘法
8．2．4分块矩阵的求逆
8．2．5分块矩阵的行列式计算
8．3分块初等变换
8．3．1分块矩阵的初等变换
8．3．2分块初等矩阵
8．4编程实践： MATLAB实现矩阵的分块与合并
习题8
第9章矩阵的秩
9．1矩阵的秩： 深度刻画
9．1．1由线性映射刻画矩阵的秩
9．1．2由行列式刻画矩阵的秩
9．2矩阵秩的性质
9．3矩阵的秩性质应用
9．4编程实践： MATLAB计算矩阵的秩
习题9
第10章伴随矩阵
10．1伴随矩阵及其构建
10．1．12阶方阵的伴随矩阵
10．1．2任意方阵伴随矩阵的构建
10．1．3逆矩阵的另一种构建方式
10．1．4关于伴随矩阵的术语说明
10．2伴随矩阵十大公式
10．2．1伴随矩阵公式推导
10．2．2伴随矩阵十大公式汇总
10．3伴随矩阵公式应用
10．4克拉默法则
10．5编程实践： MATLAB计算伴随矩阵
习题10
第11章矩阵、向量和空间
11．1多维空间向量基本定理
11．1．1平面向量基本定理的矩阵分析
11．1．2更高维度空间向量的基本定理
11．2线性无关和线性相关
11．2．1线性无关和线性相关的概念和意义
11．2．2线性无关和线性相关的拓展与应用
11．2．3线性无关和线性相关的性质总结
11．3向量组及其表示空间
11．3．1向量组的秩和极大线性无关组
11．3．2等价向量组
11．4单位正交基向量组
11．4．1复习与延伸： 数量积、正交与单位向量
11．4．2单位正交基向量组
11．4．3格拉姆施密特正交化
11．4．4正交矩阵
11．5空间的基变换和坐标变换
11．5．1基向量和坐标
11．5．2基变换和坐标变换
11．6编程实践： 有关向量组的综合任务
习题11
第12章特征值和特征向量
12．1特征值和特征向量的概念
12．1．1对角阵的特征值和特征向量
12．1．2一般方阵的特征值和特征向量
12．1．3特征值和特征向量的代数定义
12．2特征值和特征向量的计算
12．3特征值和特征向量的性质
12．3．1单根、重根特征值的性质
12．3．2特征值的和与积
12．3．3关联矩阵的特征值和特征向量
12．3．4凯莱哈密尔顿定理
12．4特征值和特征向量举例应用
12．5编程实践： MATLAB计算特征值和特征向量
习题12
第13章相似矩阵与相似对角化
13．1相似矩阵
13．1．1相似矩阵的概念和意义
13．1．2相似矩阵的性质
13．2相似对角化
13．2．1相似对角化的概念和意义
13．2．2相似对角化的条件和计算
13．2．3相似对角化的应用
13．3实对称矩阵
13．3．1实对称矩阵的特征值和特征向量
13．3．2实对称矩阵的相似对角化
13．3．3实对称矩阵综合举例
13．4编程实践： MATLAB实现相似对角化
习题13
第14章二次型
14．1二次型及其矩阵表示
14．1．1多元二次函数和二次型
14．1．2二次型的矩阵表示
14．2合同变换化二次型为标准形
14．2．1合同变换与合同对角化
14．2．2配方法化二次型为标准形
14．2．3正交变换法化二次型为标准形
14．3二次型和圆锥曲线、二次曲面
14．3．1二次型和平面圆锥曲线
14．3．2二次型和空间二次曲面
14．4规范形和正定、负定二次型
14．4．1二次型的规范形和惯性指数
14．4．2正定二次型和负定二次型
14．4．3顺序主子式判定法则
14．5编程实践： 二次型的综合任务
习题14
第15章机器学习中的矩阵基础
15．1多元函数的导数、极值和优化
15．1．1多元函数的导数： 梯度和海森矩阵
15．1．2多元函数极值求法
15．1．3梯度和海森矩阵优化算法
15．2最小二乘法
15．2．1散点的线性拟合问题举例
15．2．2向量函数及其导数
15．2．3最小二乘法公式推导
15．3主成分分析法(PCA)
15．3．1数据的降维压缩
15．3．2主成分分析基本原理
15．3．3主成分分析基本步骤和实例
15．4奇异值分解（SVD）
15．4．1矩阵和线性映射的分解
15．4．2奇异值分解的计算方法
15．4．3奇异值分解在图像处理中的应用
习题15
第16章矩阵理论的发展与未来
16．1矩阵理论的起源和发展
16．2矩阵理论的学习和进阶
习题16
附录A数理逻辑及证明基础知识
A.1命题逻辑
A.2充分条件和必要条件
A.3数学证明常用方法
A.3.1反证法
A.3.2分析法
A.3.3数学归纳法
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| 內容試閱：
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矩阵是应用广泛的数学工具之一，也是现代数学的一个基础性分支，它在科学、工程、经济学等领域都扮演着重要的角色。通过学习矩阵理论，读者将会获得处理高维数据、解决复杂系统、理解空间变换等能力，从而在各个领域中游刃有余地应用所学的知识。在我国高等院校的理工科专业，一般在本科阶段都会设置和矩阵理论相关的“线性代数”或“高等代数”课程，它们也是进入研究生阶段深造的 数学理论基础。
不过从诸多高校多年的教学实践来看，学生普遍反映矩阵理论“难学、难懂”以及“学了不知道有什么用”。究其原因，除了矩阵理论本身颇为抽象这一客观原因以外，很多课程中对矩阵理论的介绍往往很少有从具体到抽象的转换，即缺乏将理性而严谨的数学思想和感性的直观认知相结合这一过程，同时也未能和初等数学的诸多知识有机衔接。此外，有关矩阵理论的教学往往浮于表面，没能进一步引导学生理解矩阵诸理论之间的本质逻辑联系。而实际上，矩阵理论的学习起点是很低的，即稍有中小学阶段的初等数学基础即可开始学习，并逐步由浅入深地理解矩阵及其重要的作用。因此笔者认为，要引导学生掌握矩阵这一重要工具，在教学中需以初等数学作为切入点，同时由浅入深地以一定的逻辑，慢慢从具象、感性的直观视角过渡到抽象、理性的代数认知。对于国内的学生来讲，一本合适的中文教材在此过程中是不可或缺的。
本书共包括16章，内容涵盖了从基本概念到高级运算技巧的诸多方面，旨在以通俗易懂的语言详细讲解矩阵理论。其中第1章以初等数学为起点引出矩阵； 第2~14章是本书的主体部分，主要包括矩阵的概念、线性方程组、矩阵运算、线性映射与线性变换、行列式、向量空间、特征值与特征向量、相似矩阵、二次型等重要理论； 第15章介绍了矩阵理论在机器学习中的简单应用，借此抛砖引玉，以供机器学习方面的研究者参考和进一步学习； 第16章介绍了矩阵理论的历史发展，并给出使用本书的读者在未来学习中的建议。
本书在讲解矩阵理论知识的同时配有相当数量的例题，每章末还附有一定数量的习题，以帮助读者在巩固所学知识的同时，深化对理论知识的理解。与此同时，本书还具有针对性地融入了一些常见的应试技巧，以便需要应试的读者在深入理解和掌握理论知识的基础上进一步提高解题能力。此外，第2~14章的最后一节均为MATLAB编程实践内容，有工程实践需求的读者可以使用MATLAB编程工具将本章所学到的矩阵理论通过相关函数或程序加以实现，这不仅能深化本章知识的理解，还能熟悉MATLAB工具的使用。本书还配有Python代码和配套的视频讲解，可以扫描下方的二维码获取。本书可作为国内相关理工科学生学习矩阵的教材，也可作为以“线性代数”“高等代数”等课程为应试科目的基础复习用书，还可供相关工程实践从业人员阅读和参考。
在本书的编写过程中，我们参阅了国内外的大量优秀教材以及相关资料，在此向其作者由衷地表示感谢！
由于编者水平有限，书中难免有疏漏之处，恳请广大读者批评指正。
编者2024年12月于西安
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